不等式的证明

时间：08月02日网络精选证明我要投稿

不等式的证明(8篇)

　　知识的海洋等待我们探索！今天，我们将一起翻开那几篇关于不等式证明的瑰宝。每一步推导都是智慧的火花，让我们怀揣好奇心，共享学习的乐趣吧！

初中生数学公式不等式的证明篇1

　　不等式的证明包括了比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法等。

　　不等式的证明

　　1、比较法

　　包括比差和比商两种方法。

　　2、综合法

　　证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，综合法又叫顺推证法或因导果法。

　　3、分析法

　　证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的'条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。

　　　　4、放缩法

　　证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。

　　　　5、数学归纳法

　　用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。

　　在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

　　6、反证法

　　证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

　　不管是以上哪一种方法，都是我们需要掌握的方法。

不等式的证明方法以及例解篇2

　　不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。步骤/方法比较法

　　比较法是证明不等式的最基本方法，具体有作差比较和作商比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式(或分式)时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式时常用作商比较)

　　例1已知a+b0，求证：a3+b3a2b+ab2

　　分析：由题目观察知用作差比较，然后提取公因式，结合a+b0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。

　　∵(a3+b3)?(a2b+ab2)

　　=a2(a-b)-b2(a-b)

　　=(a-b)(a2-b2)

　　证明： =(a-b)2(a+b)

　　又∵(a-b)20

　　(a-b)2(a+b)0

　　即a3+b3a2b+ab2

　　例2 设a、bR+，且ab，求证：aabbabba

　　分析：由求证的不等式可知，a、b具有轮换对称性，因此可在设a0的前提下用作商比较法，作商后同1比较大小，从而达到证明目的，步骤是：10作商20商形整理30判断为与1的大小

　　证明：由a、b的对称性，不妨解a0则

　　aabbabba=aa-b?bb-a=(ab)a-b

　　∵a?b?0，ab?1，a-b?0

　　(ab)a-b?(ab)0=1即aabbabba1，又abba0aabbabba

　　练习1 已知a、bR+，nN，求证(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)基本不等式法

　　利用基本不等式及其变式证明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及变形有：

　　(1)若a、bR，则a2+b22ab(当且仅当a=b时，取等号)

　　(2)若a、bR+，则a+b 2ab (当且仅当a=b时，取等号)

　　(3)若a、b同号，则 ba+ab2(当且仅当a=b时，取等号)

　　例3 若a、bR， |a|1，|b|1则a1-b2+b1-a21

　　分析：通过观察可直接套用： xyx2+y22

　　证明： ∵a1-b2b1-a2a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

　　b1-a2+a1-b21，当且仅当a1+b2=1时，等号成立

　　练习2：若 a?b?0，证明a+1(a-b)b3综合法

　　综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式性质推算出要证明不等式。

　　例4，设 a?0，b?0，a+b=1，证明:(a+1a)2+(B+1b)2252

　　证明：∵ a?0，b?0，a+b=1

　　ab14或1ab4

　　左边=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+[(a+b)2-2ab]+(a+b)2-2aba2b2

　　=4+(1-2ab)+1-2aba2b24+(1-12)+8=252

　　练习3：已知a、b、c为正数，n是正整数，且f (n)=1gan+bn+cn3

　　求证：2f(n)f(2n)分析法

　　从理论入手，寻找命题成立的充分条件，一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时，便可推出原不等式成立，这种方法称为分析法。

　　例5：已知a?0，b?0，2c?a+b，求证：c-c2-ab

　　分析：观察求证式为一个连锁不等式，不易用比较法，又据观察求证式等价于 |a-c|

　　要证c-c2-ab

　　只需证-c2-ab

　　证明：即证 |a-c|

　　即证 (a-c)2

　　即证 a2-2ac-ab

　　∵a0，即要证 a-2c-b 即需证2+b2c，即为已知

　　不等式成立

　　练习4：已知aR且a1，求证：3(1+a2+a4)(1+a+a2)2放缩法

　　放缩法是在证明不等式时，把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式，是证明不等式的重要方法，技巧性较强常用技巧有：(1)舍去一些正项(或负项)，(2)在和或积中换大(或换小)某些项，(3)扩大(或缩小)分式的分子(或分母)等。

　　例6：已知a、b、c、d都是正数

　　求证： 1

　　分析：观察式子特点，若将4个分式商为同分母，问题可解决，要商同分母除通分外，还可用放缩法，但通分太麻烦，故用放编法。

　　证明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+bba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1

　　又由ab0)可得：ba+b+c

　　ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b

　　综上知：1

　　练习5：已知：a2，求证：loga(a+1)1 6换元法

　　换元法是许多实际问题解决中可以起到化难为易，化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，若通过换元的思想与方法去解就很方便，常用于条件不等式的证明，常见的是三角换元。

　　(1)三角换元：

　　是一种常用的换元方法，在解代数问题时，使用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化成三角问题，充分利用三角函数的性质去解决问题。

　　例7、若x、yR+,且 x-y=1 ?A=(x-1y)(y+1y)。1x，求证0

　　证明： ∵x，yR+，且x-y=1，x=sec ， y=tan ，(0

　　A=(sec-1sec(tan+1tan1sec2

　　=1-cos2coss2m2+cos2coss2mcos2

　　=sin

　　∵0

　　复习6：已知1x2+y22，求证：12 x2-xy+y23

　　(2)比值换元：

　　对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求证式，即可。

　　例8：已知 x-1=y+12=z-23，求证：x2+y2+z24314

　　证明：设x-1=y+12=z-23=k

　　于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+2

　　把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

　　=14(k+514)2+43144314反证法

　　有些不等式从正面证如果不好说清楚，可以考虑反证法，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步推导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的，凡是至少、唯一或含有否定词的命题，适宜用反证法。

　　例9：已知p3+q3=2，求证：p+q2

　　分析：本题已知为p、q的三次，而结论中只有一次，应考虑到用术立方根，同时用放缩法，很难得证，故考虑用反证法。

　　证明：解设p+q2，那么p2-q

　　p3(2-q)3=8-12q+6q2-q3

　　将p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+60

　　即6(q-1)20 由此得出矛盾 p+q2

　　练习7：已知a+b+c0，ab+bc+ac0，abc0.

　　求证：a0，b0，c0数学归纳法

　　与自然数n有关的不等式，通常考虑用数学归纳法来证明。用数学归纳法证题时的两个步骤缺一不可。

　　例10：设nN，且n1,求证： (1+13)(1+15)(1+12n-1)2n+12

　　分析：观察求证式与n有关，可采用数学归纳法

　　证明：(1)当n=2时，左= 43，右=52

　　∵4352不等式成立

　　(2)假设n=k(k2，kn)时不等式成立，即(1+13)(1+15)(1+12k-1)2k+12

　　那么当n=k+1时，(1+13)(1+15)(1+12k-1)(1+12k+1)2k+12(1+12k+1)①

　　要证①式左边 2k+32，只要证2k+12

　　2k+22k+12k+32②

　　对于②〈二〉2k+2 2k+12k+3

　　〈二〉(2k+2)2 (2k+1)(2k+3)

　　〈二〉4k2+8k+4 4k2+8k+3

　　〈二〉43 ③

　　∵③成立 ②成立，即当n=k+1时，原不等式成立

　　由(1)(2)证明可知，对一切n2(nN)，原不等式成立

　　练习8：已知nN，且n1，求证： 1n+1+1n+2++12n 1324构造法

　　根据求证不等式的具体结构所证，通过构造函数、数列、合数和图形等，达到证明的目的，这种方法则叫构造法。

　　1构造函数法

　　例11：证明不等式：x1-2x

　　证明：设f(x)= x1-2x- x2 (x0)

　　∵f (-x)

　　=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2

　　=x1-2x- [1-(1-2x)]+x2=x1-2x-x+x2

　　=f(x)

　　f(x)的图像表示y轴对称

　　∵当x0时，1-2x0 ，故f(x)0

　　当x0时，据图像的对称性知f(x)0

　　当x0时，恒有f(x)0 即x1-2x

　　练习9：已知ab，2ba+c，求证：b- b2-ab

　　2构造图形法

　　例12：若f(x)=1+x2 ，ab，则|f(x)-f(b)| |a-b|

　　分析：由1+x2 的结构可知这是直角坐标平面上两点A(1，x)，0(0，0)的距离即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

　　于是如下图，设A(1，a)，B(1，b)则0A= 1+a2 0B= 1+b2

　　|AB|=|a-b|又?0A|-|0B?|AB||f(a)-f(b)||a-b|

　　练习10：设ac，bc，c0，求证 c(a-c)+c(b-c)ab某些不等式的证明若能优先考虑添项技巧，能得到快速求解的效果。

　　1倍数添项

　　若不等式中含有奇数项的和，可通过对不等式乘以2变成偶数项的和，然后分组利用已知不等式进行放缩。

　　例13：已知a、b、cR+，那么a3+b3+c33abc(当且仅当a=b=c时等号成立)

　　证明：∵a、b、cR+

　　a3+b3+c3=12 [(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)]12 [(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)]

　　=12[a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)]12(a2bc+b2ca+c2ac)=3abc

　　当且仅当a=b，b=c，c=a即a=b=c时，等号成立。

　　2平方添项

　　运用此法必须注意原不等号的方向

　　例14 ：对于一切大于1的自然数n，求证：

　　(1+13 )(1+15 )(1+12n-1 2n+1 2)

　　证明：∵b0，m 0时ba b+ma+m

　　∵ [(1+13 )(1+15 )(1+12n-1)]2=(43、652n2n-1)(43、652n2n-1) (54、762n+12n)(43、652n2n-1)=2n+13 2n+14

　　(1+13 )(1+15 )(1+12n-1)2n+1 2)

　　3平均值添项

　　例15：在△ABC中，求证sinA+sinB+sinC332

　　分析：∵A+B+C=，可按A、B、C的算术平均值添项sin 3

　　证明：先证命题：若x0，y，则sinx+siny2sin x+y2(当且仅当x=y时等号成立)

　　∵0

　　上式成立

　　反复运用这个命题，得sinA+sinB+sinC+sin 2sinA+B2+2sinc+22sinA+B2+c+322

　　=4sin3=332

　　sinA+sinB332

　　练习11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC218

　　4利用均值不等式等号成立的条件添项

　　例16 ：已知a、bR+，ab且a+b=1，

　　求证a4+b4 18

　　分析：若取消ab的限制则a=b= 12时，等号成立

　　证明：∵a、bR+ a4+3(12)444a4 [(12)4]3=12a①

　　同理 b4+3(12)4 b②

　　a4+b412(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③

　　∵ab ①②中等号不成立 ③中等号不成立原不等式成立

　　1.是否存在常数c，使得不等式 x2x+y+yx+2yxx+2y+y2x+y对任意正数x,y恒成立?

　　错解：证明不等式x2x+y+ yx+2yxx+2y+y2x+y恒成立，故说明c存在。

　　正解：x=y得23 23，故猜想c= 23,下证不等式 x2x+y+ yx+2yxx+2y+y2x+y恒成立。

　　要证不等式xx+2y+xx+2y23 ，因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)2(2 x+y)(x+2y),也即证3x2+12xy+3y2 2(2x2+2y2+5xy),即2xyx2+y2 ，而此不等式恒成立，同理不等式 23xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。

　　6.2已知x,y,zR+ ，求证：x2y2+y2z2+z2x2x+y+zxyz

　　错解：∵ x2y2+y2z2+z2x2 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z3xyzx2y2+y2z2+z2x2x+y+z 3xyz33xyz33xyz=xyz

　　错因：根据不等式的性质：若a0，c 0,则ac bd，但 ac bd却不一定成立

　　正解： x2y2+y2z2 2x y2z，

　　y2z2+z2x2 2x yz2，

　　x2y2+z2x2 2x 2yz，

　　以上三式相加，化简得：x2y2+y2z2+z2x2xyz(x+y+z)，

　　两边同除以x+y+z:

　　x2y2+y2z2+z2x2x+y+zxyz

　　6.3 设x+y0， n为偶数，求证 yn-1xn+xn-1yn

　　1x 1y

　　错证：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y

　　=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

　　n为偶数， xnyn 0，又xn-yn 和xn-1-yn-1

　　同号，

　　yn-1xn+xn-1yn 1x-1y

　　错因：在x+y0的条件下，n为偶数时， xn-yn 和xn-1-yn-1 不一定同号，应分x、y同号和异号两种情况讨论。

　　正解：应用比较法：

　　yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

　　① 当x0时， (xn-yn)(xn-1-yn-1)

　　0，(xy)n 0

　　所以 (xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

　　0故：yn-1xn+xn-1yn 1x-1y

　　② 当x,y有一个是负值时，不妨设x0，

　　且x+y0，所以x|y|

　　又n为偶数时,所以 (xn-yn)(xn-1-yn-1) 0

　　又 (xy)n 0，所以 (xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

　　0即 yn-1xn+xn-1yn 1x-1y

　　综合①②知原不等式成立

　　不等式的性质

　　1.两个实数a与b之间的大小关系

　　2.不等式的性质

　　(4) (乘法单调性)

　　3.绝对值不等式的性质

　　(2)如果a0，那么

　　(3)|ab|=|a||b|.

　　(5)|a|-|b||ab||a|+|b|.

　　(6)|a1+a2++an||a1|+|a2|++|an|.

　　不等式的证明

　　1.不等式证明的依据

　　(2)不等式的性质(略)

　　(3)重要不等式：①|a|0;(a-b)20(a、bR)

　　②a2+b22ab(a、bR，当且仅当a=b时取=号)

　　2.不等式的证明方法

　　(1)比较法：要证明ab(a0(a-b0)，这种证明不等式的方法叫做比较法.

　　用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判断符号.

　　(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.

　　(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法.

　　证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等.

不等式的证明知识点篇3

　　不等式的证明包括了比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法和反证法着六大方法。

　　不等式的证明

　　1、比较法

　　包括比差和比商两种方法。

　　2、综合法

　　证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，综合法又叫顺推证法或因导果法。

　　3、分析法

　　证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。

　　4、放缩法

　　证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。

　　5、数学归纳法

　　用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。

　　在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

　　6、反证法

　　在不等式证明的六大方法中，我们经常使用到的是综合法和反证法，这也是中考答题的常见方法。

不等式的证明方法篇4

　　1、比较法

　　包括比差和比商两种方法。

　　2、综合法

　　证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，综合法又叫顺推证法或因导果法。

　　3、分析法

　　4、放缩法

　　证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。

　　5、数学归纳法

　　在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

　　6、反证法

　　知识拓展：用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。

不等式的证明篇5

　　1、比较法

　　包括比差和比商两种方法。

　　2、综合法

　　证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，综合法又叫顺推证法或因导果法。

　　3、分析法

　　证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的.充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。

　　4、放缩法

　　证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。

　　5、数学归纳法

　　用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。

　　在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

　　6、反证法

用放缩法证明不等式的方法与技巧分享篇6

　　放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法高二。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。

　　所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使（2）

　　（3）若（4）（5）（6）等等。

　　用放缩法证明下列各题。

　　例1 求证：所以左边

　　例2 （2000年海南理11）若求证：因为又是增函数］，所以

　　例3 （2001年云南理1）求证：（因为）

　　［又因为（放大）］，所以

　　例4 已知

　　证明：因为

　　例5 求证：（因为> （放大）所以当时，函数的最大值是

　　证明：因为原函数配方得所以。当所以

　　例7 求证：

　　证明：因为（分母有理化）

　　例8 （2002年贵州省理21）若

　　证明：因为所以所以

　　例9 已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：便得

　　例10 （1999年湖南省理16）求证：所以原不等式成立。

　　例11 求证：

　　例12 求证所以左边

　　注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若则。2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。

概率在证明恒等式和不等式中的应用解析篇7

　　摘要：概率论的思想已广泛应用于其它学科，用概率论中的方法解决其它学科中的1些问题是1个非常有趣的课题．本文利用概率论中方法证明恒等式和不等式，从中可看出它们之间的联系以及应用概率论方法解题的美妙之处．应用的基本思路是：根据所要解决的问题，首先构造1个适当的概率模型，然后应用概率中的已知结论解决所讨论的问题．如何构造适当的概率模型是解决问题的难点所在，也是关键所在．

　　关键词：随机变量；数学期望；方差；恒等式；不等式

　　The applications of probability theory in the

　　proofs of equalities and inequalities

　　Abstract: The thought of probability theory has already been applied to many other subjects extensively. It is very interesting to solve some problems in other subjects by using probability theory. In this paper, some methods in probability theory are used to prove several equalities and inequalities in Mathematics. By this, we can see the close relationship between them. It is also very valid to solve problems by using probability theory. Our method is as follows: according to the problem, we first construct their proper probability models, then use some known conclusions in probability theory to solve them. How to construct their probability models is the difficult point as well as the key point.

　　Key words: random variable; mathematical expectation; variance; equality; inequality

浅谈例谈不等式的构造法证明篇8

　　【摘要】不等式证明是中职和高中阶段数学教育很重要的一个知识点，由于其涉及的知识面广泛，难易程度差距大，综合性强，是考查学生数学知识和逻辑思维很好的工具，可谓是考试的重中之重.本文仅就不等式的构造法证明进行归纳，剖析了9种构造方式，基本涵盖了不等式涉及的各相关知识点，以起到抛砖引玉的作用.

　　【关键词】中职教育；数学；不等式；构造法；证明

　　所谓“构造法”是指在数学问题中给已知相关条件，赋予恰当的实际意义，构造出某种数学模型并利用其性质来解决实际问题的方法.它体现了“化归”的数学思想，在解决许多难题起到“柳暗花明”的效果.本文就构造法证明不等式来做以介绍，权当抛砖引玉.

　　1.构造三角函数

　　例1已知 a≤1，b≤1.

　　解析观察所给条件和结论，发现具有对称性且满足正、余弦函数变化范围，可联想到构造三角函数，使结论式变无理为有理，利用三角公式多，联系广，变化活的特点，把一些问题转化到三角问题，以打开思路.

　　2.构造一元二次方程判别式

　　由以上可知，构造法多应用于一些具有“对称性”的问题，在该类问题中由于所给条件地位相等，因此可以构造一些特殊图形或模型来解决问题，至于如何提高构造想象力，这需要在熟悉掌握数学基本知识的基础上善于总结和领会各种方法思路，勤于思考、精于推理、养成严谨灵活多变的思维能力才能把自己的数学知识转化为数学能力.

　　运用构造法解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，在实际教学中，我们应该通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新.

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